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<!DOCTYPE html>

<title>Lorentz-Transformation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lorentz-Transformation</h1>

</header>

</div>

Dieser Artikel wurde in die Qualitätssicherung der Redaktion Physik eingetragen. Wenn du dich mit dem Thema auskennst, bist du herzlich eingeladen, dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der Qualitätssicherungs-Seite der Physik statt. </div>

Die Lorentz-Transformationen, nach <a href="Hendrik_Antoon_Lorentz" title="Hendrik Antoon Lorentz">Hendrik Antoon Lorentz</a>, sind spezielle <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Koordinatentransformationen</a>. Sie gehören zusammen mit ihrer Herleitung zu den Grundlagen der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">Speziellen Relativitätstheorie</a>. Sie werden in der Physik dazu verwendet, um die Beschreibung eines Vorganges von einem <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a> in ein anderes Bezugssystem zu überführen. Sie verbinden also die Zeit- und Ortskoordinaten verschiedener Bezugssysteme. Mit Hilfe dieser Zeit- und Ortskoordinaten kann ein <a href="Beobachter_(Physik)" title="Beobachter (Physik)">Beobachter</a> angeben, wann und wo Ereignisse in seinem Bezugssystem stattfinden.

Das Äquivalent zu den Lorentz-Transformationen sind im dreidimensionalen <a href="Euklidische_Metrik" class="mw-redirect" title="Euklidische Metrik">euklidischen</a> Raum die <a href="Galilei-Transformation" title="Galilei-Transformation">Galilei-Transformationen</a>. So wie diese <a href="Abstand" title="Abstand">Abstände</a> und <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> unverändert lassen, erhalten die Lorentz-Transformationen die Abstände in einer speziellen nichteuklidischen Raumzeit, dem <a href="Minkowskiraum" class="mw-redirect" title="Minkowskiraum">Minkowskiraum</a>. Winkel werden im Minkowskiraum nicht erhalten, da der Minkowskiraum kein <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierter Raum</a> ist.

Die Lorentz-Transformationen bilden im mathematischen Sinn eine <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>, die <a href="Lorentz-Gruppe" title="Lorentz-Gruppe">Lorentz-Gruppe</a>:

<ul><li>Die Hintereinanderausführung von Lorentz-Transformationen kann als eine einzige Lorentz-Transformation beschrieben werden.</li>

<li>Die triviale Transformation von einem Bezugssystem in dasselbe ist ebenfalls eine Lorentz-Transformation.</li>

<li>Zu jeder Lorentz-Transformation existiert eine inverse Transformation, die wieder in das ursprüngliche Bezugssystem zurück transformiert.</li></ul>

Unterklassen der Lorentz-Transformationen sind die diskreten Transformationen der <a href="Raumspiegelung" title="Raumspiegelung">Raumspiegelung</a>, also der Inversion aller räumlichen Koordinaten, sowie der <a href="Zeitumkehr_(Physik)" title="Zeitumkehr (Physik)">Zeitumkehr</a>, also die Umkehr des <a href="Zeitpfeil" title="Zeitpfeil">Zeitpfeils</a>, und die kontinuierlichen Transformationen der endlichen <a href="Drehung" title="Drehung">Drehung</a> sowie der <a href="Spezielle_Lorentz-Transformation" title="Spezielle Lorentz-Transformation">speziellen Lorentz-Transformationen</a> oder Lorentz-Boosts. Kontinuierliche Drehbewegungen der Koordinatensysteme gehören nicht zu den Lorentz-Transformationen. Teilweise werden auch nur die speziellen Lorentz-Transformationen verkürzend als Lorentz-Transformationen betitelt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestandteile_der_Lorentz-Transformation">Bestandteile der Lorentz-Transformation</h3></div>

Die Lorentz-Transformation umfasst alle <a href="Lineare_Transformation" class="mw-redirect" title="Lineare Transformation">linearen Transformationen</a> der Koordinaten zwischen zwei Beobachtern. Sie sind daher Transformationen zwischen zwei <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystemen</a>, deren Koordinatenursprung, der Bezugspunkt des Koordinatensystems zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy">, übereinstimmt. Eine allgemeine Lorentz-Transformation umfasst daher

<ul><li>Transformationen zwischen zwei Beobachtern, die eine unterschiedliche, konstante Geschwindigkeit besitzen, genannt Lorentz-Boost oder <a href="Spezielle_Lorentztransformation" class="mw-redirect" title="Spezielle Lorentztransformation">spezielle Lorentz-Transformation</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Sie entsprechen einer Drehung im Raum-Zeit-Sektor des nichteuklidischen Minkowskiraums.</li>

<li><a href="Drehung" title="Drehung">Drehungen</a> der räumlichen Koordinaten</li>

<li><a href="Zeitumkehr_(Physik)" title="Zeitumkehr (Physik)">Zeit-</a> und <a href="Raumspiegelung" title="Raumspiegelung">Raumspiegelungen</a></li></ul>

Jede allgemeine Lorentz-Transformation lässt sich als Hintereinanderausführung dieser Transformationen schreiben. Eine Lorentz-Transformation, bei der Spiegelungen ausgeschlossen sind und die Orientierung der Zeit erhalten ist, wird als eigentliche, orthochrone Lorentz-Transformation bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezielle_Lorentz-Transformation_für_Orte_und_Zeiten">Spezielle Lorentz-Transformation für Orte und Zeiten</h3></div>

Ist der Beobachter A mit konstanter Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Richtung gegenüber einem anderen Beobachter B bewegt, so hängen die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')}">

<msup>

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<msup>

</msup>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b045dfc9c358385dc3a585fdf4636924a9ef5708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle (t',x',y',z')}" loading="lazy">, die Beobachter A einem Ereignis zuschreibt, durch die spezielle Lorentz-Transformation

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}\,x\right)\\x'&=\gamma (x-v_{x}\,t)\\y'&=y\\z'&=z\\v'_{x}&=-v_{x}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/174a1af397785a0a1704fcfdb245999afba5cd48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.671ex; width:19.754ex; height:18.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}\,x\right)\\x'&=\gamma (x-v_{x}\,t)\\y'&=y\\z'&=z\\v'_{x}&=-v_{x}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit den Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/899eb4e1d2776847a8a39f5a9e0354b2e1383c80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.324ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,x,y,z)}" loading="lazy"> des Beobachters B für dasselbe Ereignis zusammen, falls die beiden Bezugssysteme denselben Ursprung haben, also zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle t=t'=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle t=t'=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a200145e9f93eb70bb08ca3a835a529cd1cb263.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.723ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle t=t'=0}" loading="lazy"> miteinander übereinstimmen. Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}">

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81171300b9de9447c5283802ad25972ff229b06a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.935ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}" loading="lazy"> der <a href="Lorentzfaktor" class="mw-redirect" title="Lorentzfaktor">Lorentzfaktor</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inverse_der_Speziellen_Lorentz-Transformation">Inverse der Speziellen Lorentz-Transformation</h4></div>

Da B sich relativ zu A mit konstanter Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05d12e513906523af26c5372b10aee063aa11926.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -v}" loading="lazy"> bewegt, wenn A dies relativ zu B mit Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d451a1c554029e55da3f728bfdf9a34a189c887f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +v}" loading="lazy"> tut, kann man gemäß dem <a href="Relativit%C3%A4tsprinzip" title="Relativitätsprinzip">Relativitätsprinzip</a> ihre Rollen vertauschen. In den Transformationsformeln ändert sich dabei nur das Vorzeichen der Geschwindigkeit. Insbesondere gilt auch

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</mrow>

</mrow>

</mtd>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\,x'\right)\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b50920d587c7e35ba9f63e12d3f056b107e042.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.424ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}\,x'\right)\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Während für A die Zeit (Uhr) in B (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">) anscheinend langsamer läuft als die in A, gilt dies auch andersherum, d. h., für B läuft die Uhr von A (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f387f7b2972118580a512fe1f8ef049ec43ab8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.275ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'=0}" loading="lazy">) langsamer.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichtliche_Entwicklung">Geschichtliche Entwicklung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Geschichte_der_Lorentz-Transformation" title="Geschichte der Lorentz-Transformation">Geschichte der Lorentz-Transformation</a></div>

Die Arbeiten von <a href="Woldemar_Voigt_(Physiker)" title="Woldemar Voigt (Physiker)">Woldemar Voigt</a> (1887), <a href="Hendrik_Antoon_Lorentz" title="Hendrik Antoon Lorentz">Hendrik Antoon Lorentz</a> (1895, 1899, 1904), <a href="Joseph_Larmor" title="Joseph Larmor">Joseph Larmor</a> (1897, 1900) und <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> (1905), zeigten, dass die Lösungen der Gleichungen der Elektrodynamik durch Lorentz-Transformationen aufeinander abgebildet werden, oder mit anderen Worten, dass die Lorentz-Transformationen Symmetrien der <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a> sind.

Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen <a href="%C3%84ther_(Physik)" title="Äther (Physik)">Äther</a>, ein Übertragungsmedium für elektromagnetische Wellen, zu erklären. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. Voigt stellte 1887 Transformationsformeln vor, welche die <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> invariant lassen. Die Voigt-Transformation ist jedoch nicht reziprok, bildet also keine <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>. Voigt nahm an, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im Ruhesystem des Äthers und in einem Bezugssystem, das sich relativ zu diesem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleich ist, ohne dafür eine Erklärung anzugeben.<a href="#cite_note-2">[2]</a> In seiner <a href="Lorentzsche_%C3%84thertheorie" title="Lorentzsche Äthertheorie">Äthertheorie</a> konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz’ Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest.

Einsteins <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">spezielle Relativitätstheorie</a> löste <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">Newtons Mechanik</a> und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem <a href="Relativit%C3%A4tsprinzip" title="Relativitätsprinzip">Relativitätsprinzip</a> ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">. Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen anstatt wie in Newtons Mechanik durch eine <a href="Galilei-Transformation" title="Galilei-Transformation">Galilei-Transformation</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschwindigkeitsaddition">Geschwindigkeitsaddition</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Relativistisches_Additionstheorem_f%C3%BCr_Geschwindigkeiten" title="Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten">Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten</a></div>

Zwei hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in dieselbe Richtung mit Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98d33f5d498d528bd8c10edc8ac8c34347f32b3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb04c423c2cb809c30cac725befa14ffbf4c85f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{2}}" loading="lazy"> ergeben wieder einen Lorentz-Boost mit der Gesamtgeschwindigkeit

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {{\frac {v_{1}}{c}}+{\frac {v_{2}}{c}}}{1+{\frac {v_{1}}{c}}\cdot {\frac {v_{2}}{c}}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2276740444f9fbc52dc1896feac310e80f2da61e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:17.157ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {{\frac {v_{1}}{c}}+{\frac {v_{2}}{c}}}{1+{\frac {v_{1}}{c}}\cdot {\frac {v_{2}}{c}}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Gleichung zeigt, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentz-Transformationen nicht ändert. Ist etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98d33f5d498d528bd8c10edc8ac8c34347f32b3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1}}" loading="lazy"> die Lichtgeschwindigkeit, das heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea9d41cabfdd48d36fa2f441eca00988aee5a505.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.726ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{c}}=1}" loading="lazy">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3846b4d6bc00d56d614ec16773c6f489207823bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.438ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle v=c{\tfrac {1+v_{2}/c}{1+v_{2}/c}}=c}" loading="lazy"> ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit.

Hintereinander ausgeführte Lorentz-Boosts in verschiedene Richtungen ergeben im Allgemeinen keine Lorentz-Boosts, sondern eine allgemeine Lorentz-Transformation: Die Menge der Lorentz-Boosts ist keine Untergruppe der Lorentz-Transformationen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lorentz-Invariante">Lorentz-Invariante</h3></div>

Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">, die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">, die Teilchenzahl, die <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">elektrische Ladung</a> etc.

Bei einem Lorentz-Boost in Richtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> lässt sich zeigen, dass

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a7b39655c61ad0925399a71d81842f8afb71ff5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:22.362ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

gelten muss. Der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7e2461b26ffde795384382663866458cb1e93e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.179ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}}" loading="lazy"> ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant.

In drei Raumdimensionen ist die <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e2d20e78df67d18207a64d314d558719f984cb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.029ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}" loading="lazy"> die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> multiplizierte Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mc}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mc}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3576df091e748829cc235089e480461c0de0736f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.047ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mc}" loading="lazy">, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektoren</a> der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lorentz-Kontraktion_und_Invarianz_der_transversalen_Koordinaten">Lorentz-Kontraktion und Invarianz der transversalen Koordinaten</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Spezielle_Lorentz-Transformation" title="Spezielle Lorentz-Transformation">Spezielle Lorentz-Transformation</a> und <a href="Lorentzkontraktion" class="mw-redirect" title="Lorentzkontraktion">Lorentzkontraktion</a></div>

Für einen Lorentz-Boost mit beliebig gerichteter Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> lässt sich der Koordinatenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fe5622ace035bf6747042a78d531deacf8d81a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}" loading="lazy"> des Ereignisses in zwei Komponenten<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2caf9b4342f736d4bd7be17a9f0be4495e09a13f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.045ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}}" loading="lazy"> zerlegen. Die Indizes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \parallel }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66ed42f2e3eab99383c61f27773eba258aefeaac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \parallel }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \perp }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \perp }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afb90d6db42aa12f9e2f31176a4ed4e741c69eca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \perp }" loading="lazy"> bezeichnen dabei die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">. Die transformierten Koordinaten sind dann durch

<msup>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6251c1e059946e17e97daee5bc009634dbeae9de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.273ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben. Ein von den Beobachtern im gestrichenen System gemessener Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}'}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a9e3a3ef3129c0385fd606669b72084f0340b2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.908ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}'}" loading="lazy"> ist nur in Bewegungsrichtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/061b59566c5306a1db95f991b265ac47706fefcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.324ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r_{\parallel }}}}" loading="lazy"> verkürzt. Dieser Effekt wird Lorentz-Kontraktion genannt. Bei Maßstäben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67ee8a9eb96199689c752584063c5ea573463aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.559ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r_{\bot }}}}" loading="lazy"> senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt sich die <a href="Relativit%C3%A4t_der_Gleichzeitigkeit" title="Relativität der Gleichzeitigkeit">Relativität der Gleichzeitigkeit</a> nicht aus. Zusammengefasst lauten diese Gleichungen in der Matrixschreibweise mit <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektoren</a> (und der <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/becba5d3350c4dd244f3cda48eb13439f21ed350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{3}}" loading="lazy">):

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtd>

<mtd>

<msup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

<msup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&\mathrm {I} _{3}+(\gamma -1){\vec {v}}{\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/195610445110ac45ff528dbc7c8ba4e16b8584e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.885ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&\mathrm {I} _{3}+(\gamma -1){\vec {v}}{\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Auf gleiche Weise lassen sich elektromagnetische Felder gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b2e65bcf01e00d126cf836a2e8ebefc3e45432.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.515ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d269e3b8655b9b7e9f049bae6acee2e077a79d78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.481ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }}" loading="lazy"> in Komponenten zerlegen.<a href="#cite_note-Feynman-5">[5]</a> Man erhält die (skalaren) Feldkoordinaten

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mtr>

<mtr>

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</mrow>

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</msub>

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</mrow>

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</msub>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8b7e29062c125c1c41cd4a47842c369ba097bce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.248ex; margin-bottom: -0.257ex; width:25.458ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\ll c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\ll c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeae20cf8308560968c220b5c0da3d2b6a48e8d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle v\ll c}" loading="lazy">, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma \approx 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma \approx 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fcbd0174b5d1b88845a6b75ee34893bda890f25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.523ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma \approx 1}" loading="lazy">. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden und für die Feldgrößen gilt:

<mtr>

<mtd>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9798bb9591badd511cece78c264634d01c580e7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:23.574ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Herleitung">Herleitung</h2></div>

Um die Formeln einfach zu halten, wird als <a href="L%C3%A4ngeneinheit" class="mw-redirect" title="Längeneinheit">Längeneinheit</a> die Strecke gewählt, die Licht in einer Sekunde zurücklegt. Dann haben Zeit und Länge <a href="Nat%C3%BCrliche_Einheiten" title="Natürliche Einheiten">dieselbe Maßeinheit</a> und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy">. Die Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> wird also in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen.

Die erste Herleitung beruhte auf der Invarianz der Wellengleichung im Rahmen der elastischen Lichttheorie. Später wurde gezeigt, dass die Lorentz-Transformationsformeln, die den Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa44343d343b52164bd463ee497b0dc8d13a0180.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}}" loading="lazy"> und somit die Form von Lichtkugelwellen invariant lassen, sich rigoros aus der elektromagnetischen Wellengleichung (und somit aus den <a href="Maxwell-Gleichungen" title="Maxwell-Gleichungen">Maxwell-Gleichungen</a>) herleiten lassen, sofern die Forderung nach Linearität und Reziprozität berücksichtigt wird.<a href="#cite_note-6">[6]</a><a href="#cite_note-7">[7]</a> Im Rahmen der Elektrodynamik kann die Herleitung der Lorentz-Transformation auch unter Berücksichtigung des Potentials einer bewegten Ladung (<a href="Li%C3%A9nard-Wiechert-Potential" title="Liénard-Wiechert-Potential">Liénard-Wiechert-Potential</a>) erfolgen.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Darüber hinaus gibt es eine größere Gruppe von <a href="Kugelwellentransformation" title="Kugelwellentransformation">Kugelwellentransformationen</a>, welche den Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20d5087795754fbfd8c9c30634d264d9f51364b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.286ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}" loading="lazy"> invariant lassen. Jedoch nur die Lorentz-Transformationen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543b4490416437b7c80ea473bbcac0e4ab7a7f11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =1}" loading="lazy"> bilden alle Naturgesetze einschließlich der Mechanik symmetrisch ab und gehen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/532c440a13204c3dabd0b254a735638eb11b9fa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.945ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle c\to \infty }" loading="lazy"> in die Galilei-Transformation über.

Herleitungen in modernen Lehrbüchern beruhen überwiegend auf der Interpretation der Transformationen im Sinne der Speziellen Relativitätstheorie, wonach diese Raum und Zeit selbst betreffen, und sind unabhängig von Annahmen zur Elektrodynamik. Einstein (1905) benutzte dabei <a href="Einsteinsche_Postulate" title="Einsteinsche Postulate">zwei Postulate</a>: das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Allgemeinere Herleitungen, welche auf <a href="Wladimir_Ignatowski" class="mw-redirect" title="Wladimir Ignatowski">Wladimir Ignatowski</a> (1910) zurückgehen, beruhen auf gruppentheoretischen Erwägungen.<a href="#cite_note-9">[9]</a><a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_aus_den_einsteinschen_Postulaten">Herleitung aus den einsteinschen Postulaten</h3></div>

Die folgenden Überlegungen sollen klären, wie die Koordinaten inertialer Beobachter zusammenhängen. Ein inertialer Beobachter ist dabei ein Beobachter, der fest mit seinem Inertialsystem verbunden ist. Um die Zeit und den Ort eines bestimmten Ereignisses zu benennen, verwendet ein inertialer Beobachter Koordinaten. In der nachfolgenden Herleitung darf angenommen werden, dass sich beide Beobachter im Koordinatenursprung ihres Systems befinden. Die Lorentz-Transformation soll dann zwischen den Koordinaten der beiden Inertialsysteme transformieren. Das zweite Inertialsystem soll sich mit einer Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> gleichförmig entlang der x-Achse des ersten Inertialsystems bewegen. Die beiden Beobachter sollen hier Anna und Bert heißen. Annas Koordinatensystem wird in der Literatur oftmals auch nur mit S für System bezeichnet. Annas System S wird durch die vier reellen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y,z,t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y,z,t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df423d847ba8083b4882c6cffdaf9ace0bc0d48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.515ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x,y,z,t}" loading="lazy"> definiert. Berts System S' wird durch die gestrichenen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x',y',z',t'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x',y',z',t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20e1f753a74209ca1f8fcf2fa0e235d93d43d7ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.261ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x',y',z',t'}" loading="lazy"> definiert. Die Koordinaten werden in ihrem jeweils zugehörigen System als rechtwinklig vorausgesetzt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Linearität">Linearität</h4></div>

Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear ist.

Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen.

Bert bewegt sich relativ zu Anna mit der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy">. Die Koordinatensysteme werden so orientiert, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,x'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,x'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/868106c4dab7e143519d80dfb0ce9ca91f367330.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x,x'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> auf einer Gerade in einer Richtung liegen. Dann kann man sich auf die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ef10a0c06f8a5238d439b9a7bde431605db5190.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.203ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x,t}" loading="lazy"> beschränken.

Die gesuchte Lorentz-Transformation lautet dann

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=et+fx.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86c7b3b9fbbd14159e3c106bfd87477bcebd7d95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=et+fx.}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Folgenden werden nun die Unbekannten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,e,f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,e,f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/056a9ad48bc53531390b5666ee622d291446aeb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.691ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,e,f}" loading="lazy"> mit Hilfe der einsteinschen Postulate berechnet.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Lichtkegel">Lichtkegel</h4></div>

Ein Lichtimpuls, den Anna zur Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> am Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> losschickt, wird durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\pm t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\pm t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1849a91d0fae7242f99c0b36b7c7352aeea6956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=\pm t}" loading="lazy"> beschrieben. Da die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für Bert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'=\pm t'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'=\pm t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ad9dabcfb41d85d45ef30d88de5c5028c60d97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.445ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'=\pm t'}" loading="lazy"> gelten. Die Gleichungen mit dem Pluszeichen erfordern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e+f=a+b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e+f=a+b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02e9a92af4bb9033f6da53c7f448c5199716516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.369ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e+f=a+b}" loading="lazy"> und die Gleichungen mit dem Minuszeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e-f=-a+b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e-f=-a+b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f9be164fa9d7bdc0f9b0b611ebef52bf2d79579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.177ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e-f=-a+b}" loading="lazy">. Daraus folgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93fae9d193cf06a51cc64c70145c0efb353cc4e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.18ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e=b}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4947e4191a75fb56c573f7d73df3d7ac4595417.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=a}" loading="lazy">, und daraus

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b15fab1c9b2b742a166f9af7e6decfd2b52b5f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.213ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies gilt für alle Lorentz-Transformationen, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Relativgeschwindigkeit">Relativgeschwindigkeit</h4></div>

Anna beschreibt Berts Bewegung durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=vt}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=vt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddbcba4a341272d4181ee30870da628260d04d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.395ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=vt}" loading="lazy">, Bert seine eigene durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x'=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x'=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c83e9934d305d27c47babdf8284c237f79453d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.275ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x'=0}" loading="lazy">. Die Lorentz-Transformation von Annas zu Berts Koordinatensystem muss diese beiden Ausdrücke ineinander überführen. Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95fb83b124330c51c869fc81468973bc9896f0f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.191ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0}" loading="lazy"> folgt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=-av}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=-av}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d4522bb7b812b8f9a8ae26929fbd16509ccffab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.262ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b=-av}" loading="lazy">, also

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afe532a31ed1923d369962a279af374f34cb100e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.092ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie man leicht nachrechnet, lautet die umgekehrte Transformation

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t={\frac {t'+vx'}{a(1-v^{2})}},\quad x={\frac {x'+vt'}{a(1-v^{2})}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5135ad1be722bc1f0e73ca75ac4faa710bc31c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.489ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle t={\frac {t'+vx'}{a(1-v^{2})}},\quad x={\frac {x'+vt'}{a(1-v^{2})}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Es bleibt noch der Vorfaktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zu bestimmen. Von den Koordinaten kann er nicht abhängen, sonst wäre die Lorentz-Transformation nichtlinear. Bleibt also eine Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit. Man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d7df9e62df706c8c323dcae2edb170e84fee2b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.495ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=a(v)}" loading="lazy">. Da die Lorentz-Transformation nicht von der Richtung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> abhängen soll, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a(|v|)}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a(|v|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d73fa3e84a8a14cad3a39268e15a5835cd504.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.789ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=a(|v|)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Vorfaktor">Vorfaktor</h4></div>

In der obigen Rechnung wurde die Rechnung so angelegt, dass die Koordinaten eines Ereignisses in Berts Inertialsystem aus Annas ungestrichenen Koordinaten berechnet werden. Aufgrund des Relativitätsprinzips muss aber für die umgekehrte Transformation genau das gleiche Gesetz gelten. Vertauscht man also bei der oben angegebenen Transformation die gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten und ersetzt zusätzlich das Vorzeichen der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy">, so muss aus der Transformation die umgekehrte Transformation folgen, die oben auch bereits angegeben wurde. Die eben beschriebene Vertauschung ergibt die zwei folgenden Gleichungen:

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=a(t'+vx'),\quad x=a(x'+vt').}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c5cfbf85abea36eca2907b4321416994dbb0129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.461ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t=a(t'+vx'),\quad x=a(x'+vt').}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch einen Vergleich mit der oben angegebenen umgekehrten Transformation findet man nun die Gleichung

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {1}{a(1-v^{2})}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233dfd391eb1e6feec6df77d867a5c513629bb41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.035ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {1}{a(1-v^{2})}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

und daraus dann

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0fe3513e5cb4fb8ad48810a577da547cb93c172.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.61ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit der Abkürzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =a(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =a(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83e03e0e09cd55f2d066fba537ae4aedf8eafd0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.528ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma =a(v)}" loading="lazy"> ergibt sich

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d792db99c150c13c413499aeeeaf9ae261fbbd6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.157ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).}" loading="lazy"></dd></dl>

und daraus schließlich die bekannte Form der gesuchten Lorentz-Transformation

<msup>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aa5d5af031ff6a8c8771b8047e3cb113d84bae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:64.143ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_aus_der_Zeitdilatation">Herleitung aus der Zeitdilatation</h3></div>

Mit einem Argument von Macdonald<a href="#cite_note-11">[11]</a> kann man die Transformationsformeln aus der <a href="Zeitdilatation" title="Zeitdilatation">Zeitdilatation</a> gewinnen. An einer Lichtfront, die sich in positiver x-Richtung bewegt, hat die Differenzkoordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ct-x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct-x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17666ae594956231cc3219afb3917db2bcb733b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.017ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ct-x}" loading="lazy"> überall denselben Wert, ebenso <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle ct'-x'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle ct'-x'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0048826740f284ad14153bfe75517f52ed76dbb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.386ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle ct'-x'}" loading="lazy">. Man betrachtet eine Front, die durch das Ereignis E geht und irgendwann (vorher oder nachher) auf den bewegten Koordinatenursprung O' trifft, der langsamer als Licht sein muss. Wegen der gleichbleibenden Werte stehen die Differenzkoordinaten bei E in derselben Beziehung zueinander wie am Punkt O'. An diesem gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23cf8a62073743e57ebcbfbca104300c694e184d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.285ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x'=0,\ x=vt}" loading="lazy">, sowie nach der <a href="Zeitdilatation" title="Zeitdilatation">Dilatationsformel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle t=\gamma t'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle t=\gamma t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd1b30e926ba849456ed25824ade24cd41a9c83e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle t=\gamma t'}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}">

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c7f6918b732365895eaf989d0dd7ffb4728ffd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.418ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}" loading="lazy"> ist. Für die Differenzkoordinaten gilt daher

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9d167be37f4cb0b477d3905ba8c58c822dad395.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.702ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle ct-x=\left(1-{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'-x')}" loading="lazy">.</dd></dl>

Analog hat an einer Lichtfront, die sich in negativer x-Richtung bewegt, die Summenkoordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ct+x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct+x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3138b3fc643c8973730bf1a1540597a828fca82c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.017ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ct+x}" loading="lazy"> überall denselben Wert, ebenso <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle ct'+x'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle ct'+x'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ed1973b2b4f67b7754fc565483b4df1fdf8ebc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.386ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle ct'+x'}" loading="lazy">. Auch eine solche Front geht durch E (mit gleichen Koordinaten wie oben) und durch O' (zu einem anderen Zeitpunkt als oben). In der Gleichung analog zur vorhergehenden werden nun Summen statt Differenzen gebildet, daher lautet sie

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b01e79e1d1214a43e08143103f6471ac1ad12d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.702ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle ct+x=\left(1+{\frac {v}{c}}\right)\gamma (ct'+x')}" loading="lazy">.</dd></dl>

Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ct}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72479bb6f1dc1b592b57dd9fed06d5f50030a804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.846ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle ct}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> als Funktion von

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ct'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23969b00bf6d4ac97e6b4058b9af2eb87ee3bf96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.531ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ct'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Empirische_Herleitung">Empirische Herleitung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Testtheorien_der_speziellen_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Testtheorien der speziellen Relativitätstheorie">Testtheorien der speziellen Relativitätstheorie</a></div>

<a href="Howard_P._Robertson" title="Howard P. Robertson">Howard P. Robertson</a> und andere zeigten, dass die Lorentz-Transformation auch empirisch hergeleitet werden kann. Dazu ist es nötig, allgemeine Transformationsformeln zwischen verschiedenen Inertialsystemen mit experimentell bestimmbaren Parametern zu versehen. Es wird angenommen, dass ein einziges „bevorzugtes“ Inertialsystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y,Z,T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y,Z,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b048918c17de4e4a55d585170454117fe520b7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y,Z,T}" loading="lazy"> existiert, in dem die Lichtgeschwindigkeit konstant, isotrop und unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle ist. Ebenso sollen <a href="Einstein-Synchronisation" class="mw-redirect" title="Einstein-Synchronisation">Einstein-Synchronisation</a> und Synchronisation durch langsamen Uhrentransport in diesem System äquivalent sein. Es sei ein weiteres, zu diesem System kollineares System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y,z,t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y,z,t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df423d847ba8083b4882c6cffdaf9ace0bc0d48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.515ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x,y,z,t}" loading="lazy"> gegeben, dessen räumlicher Ursprung zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7e3dea4d13146f5203a3f506bdd1e62066bb0c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.835ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=t=0}" loading="lazy"> mit dem Ursprung des ersten Systems übereinstimmt und in dem die Uhren und Maßstäbe dieselbe interne Konstitution haben wie im ersten System. Dieses zweite System bewegt sich relativ zum ersten System mit konstanter Geschwindigkeit entlang der gemeinsamen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">-Achse. Folgende Größen bleiben dabei zunächst unbestimmt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e83671542bb0122913c738848ce0e80d0d246bde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(v)}" loading="lazy"> Unterschiede in der Zeitmessung,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a884f8315c4538f1dba6bd15df02d9833e9cfad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b(v)}" loading="lazy"> Unterschiede in der Messung longitudinaler Längen,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a957838fc14ceeffef8dc6ba66fad2680cae3656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(v)}" loading="lazy"> Unterschiede in der Messung transversaler Längen,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c6433d42245ad4152fa74ccca04f407cedb838.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.02ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (v)}" loading="lazy"> folgt aus der Konvention zur Uhrensynchronisation.</li></ul>

Daraus ergeben sich folgende Transformationsformeln:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9d598b91ee1e7bc45e71f507ccf65fffb24059e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:19.173ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c6433d42245ad4152fa74ccca04f407cedb838.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.02ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (v)}" loading="lazy"> wird nicht direkt gemessen, sondern folgt aus der Uhrensynchronisationskonvention. Hier ist die Einstein-Synchronisation die einfachste Möglichkeit, woraus sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9523b0cac821fb5ee03be0ac2533de4b284adc7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.278ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}}" loading="lazy"> ergibt. Das Verhältnis zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a884f8315c4538f1dba6bd15df02d9833e9cfad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b(v)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a957838fc14ceeffef8dc6ba66fad2680cae3656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(v)}" loading="lazy"> wird aus dem <a href="Michelson-Morley-Experiment" title="Michelson-Morley-Experiment">Michelson-Morley-Experiment</a>, das Verhältnis zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e83671542bb0122913c738848ce0e80d0d246bde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(v)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a884f8315c4538f1dba6bd15df02d9833e9cfad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b(v)}" loading="lazy"> aus dem <a href="Kennedy-Thorndike-Experiment" title="Kennedy-Thorndike-Experiment">Kennedy-Thorndike-Experiment</a> und schließlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e83671542bb0122913c738848ce0e80d0d246bde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(v)}" loading="lazy"> allein aus dem <a href="Ives-Stilwell-Experiment" title="Ives-Stilwell-Experiment">Ives-Stilwell-Experiment</a> bestimmt. Die Experimente ergaben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b102587ae7f3406143e6548245500e671d052afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.885ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(v)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(v)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62025511fdca05220604a3a5613ecf7c07e07665.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(v)=1}" loading="lazy">, was obige Transformation in die Lorentz-Transformation überführt. Hingegen wurde die Galilei-Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(v)=b(v)=d(v)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(v)=b(v)=d(v)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7397ee5446b7ef54645e485250e14bf5f7c164b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(v)=b(v)=d(v)=1}" loading="lazy"> damit ausgeschlossen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Poincaré-_und_Lorentz-Gruppe">Poincaré- und Lorentz-Gruppe</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Lorentz-Gruppe" title="Lorentz-Gruppe">Lorentz-Gruppe</a> und <a href="Poincar%C3%A9-Gruppe" title="Poincaré-Gruppe">Poincaré-Gruppe</a></div>

Die Poincaré-<a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> ist die Menge der linear inhomogenen Transformationen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\Lambda ,a}\colon x\mapsto T_{\Lambda ,a}x=x^{\prime },\quad x^{\prime \,m}=\Lambda ^{m}{}_{n}\,x^{n}+a^{m},\quad m,n\in \{0,1,2,3\},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4deab921ed119558e0f10c9a4bfcde2a9e9b0bfb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:65.411ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{\Lambda ,a}\colon x\mapsto T_{\Lambda ,a}x=x^{\prime },\quad x^{\prime \,m}=\Lambda ^{m}{}_{n}\,x^{n}+a^{m},\quad m,n\in \{0,1,2,3\},}" loading="lazy"></dd></dl>

die den Abstand zweier Vierervektoren invariant lassen. Die Untergruppe der homogenen Transformationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle T_{\Lambda ,0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle T_{\Lambda ,0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/638c41cadbef1f173b6f40a47e9ee0450c8739eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle T_{\Lambda ,0}}" loading="lazy"> bildet die Lorentz-Gruppe,

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eca05945bedd6bc1c6def9b309fc0130fa42ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}" loading="lazy">, das ist die Gruppe der linearen Transformationen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae778e765f712ab51d47a68fc4bebd21242b4917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae778e765f712ab51d47a68fc4bebd21242b4917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}" loading="lazy">, die das Längenquadrat

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e769997e6f938610283f8c367698563fa6133e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.975ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle w^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

jedes Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=(t,x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=(t,x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/967037710ccf047954a6710b65db6c437de141ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=(t,x,y,z)}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae778e765f712ab51d47a68fc4bebd21242b4917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{4}}" loading="lazy"> invariant lassen.

Schreiben wir das Längenquadrat als <a href="Matrixprodukt" class="mw-redirect" title="Matrixprodukt">Matrixprodukt</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500391dd990b71bcc0a858fa06e4418c6f35ba2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.691ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w}" loading="lazy"></dd></dl>

des Spaltenvektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> mit der Matrix

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/718e5c51c458c9c4705cbf00c860525a41c40fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:26.128ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und der transponierten Spalte, der Zeile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle w^{\mathrm {T} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle w^{\mathrm {T} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db13f1da025f610bbf6e6318aa77c24d733c75c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.083ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle w^{\mathrm {T} }}" loading="lazy">, so muss für jeden Lorentz-transformierten Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/047096dd49cca2f6f3e676b4ba6fdd0387863ec1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.277ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda w}" loading="lazy"> gelten

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda \,w=w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25f68e957eb437832e7b66bc30fa348dc83ed641.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.159ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle w^{\mathrm {T} }\,\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda \,w=w^{\mathrm {T} }\,\eta \,w.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist genau dann der Fall, wenn die Lorentz-Transformation die Gleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda =\eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c01768a39168ef0e7146d22b457f6ad915a07be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.469ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \,\Lambda =\eta }" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt.

Alle Lösungen dieser Gleichung, die die Zeitrichtung und räumliche Orientierung nicht umdrehen, sind von der Form

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda =D_{1}\,\Lambda _{v}\,D_{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/096b9bf5456757a45a83332c215e520f293dac12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.732ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Lambda =D_{1}\,\Lambda _{v}\,D_{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7714158afb63a98e7dbc6e885f70d9141c6923a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41b3839c40bd06e3dfea10798dfab41a905af256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{2}}" loading="lazy"> Drehungen

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&\\&D_{3\times 3}\\\end{pmatrix}},\quad D_{3\times 3}^{\mathrm {T} }\,D_{3\times 3}=\mathbf {1} ,\quad \det D_{3\times 3}=1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ea02026150e684d4a0b6b26080d6e2e873ed1ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.056ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&\\&D_{3\times 3}\\\end{pmatrix}},\quad D_{3\times 3}^{\mathrm {T} }\,D_{3\times 3}=\mathbf {1} ,\quad \det D_{3\times 3}=1.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Drehungen bilden die Untergruppe <a href="SO(3)" class="mw-redirect" title="SO(3)">SO(3)</a> der Lorentz-Gruppe.

Die Matrix

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda _{v}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \,v&0&0\\-\gamma \,v&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a7d7d3fa117ccf1d7fa0bf5a255c302545dbfb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:29.022ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle \Lambda _{v}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \,v&0&0\\-\gamma \,v&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bewirkt die oben angegebene Lorentz-Transformation mit einer Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |v|<1}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |v|<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9906d3bdcf732af74ffdfea28dcb1fc16a94c3c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.682ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |v|<1}" loading="lazy">. Die Transformationen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda =D\,\Lambda _{v}\,D^{-1}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85ed3881031a99fa9c81db940c6d909ae7bb3413.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.956ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Lambda =D\,\Lambda _{v}\,D^{-1}.}" loading="lazy"></dd></dl>

heißen Lorentz-Boost. Sie transformieren auf die Koordinaten des bewegten Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> in die Richtung bewegt, die sich durch die Drehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> aus der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Richtung ergibt.

Lorentz-Transformationen, die das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> der Zeitkoordinate, die Richtung der Zeit, nicht ändern,

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224924765f427c9a89fd7c7d8c9c7d6dd982ed63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.156ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,}" loading="lazy"></li></ul>

bilden die Untergruppe der orthochronen Lorentz-Transformationen. Die Lorentz-Transformationen mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det \Lambda =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86fe58803f862b2b613663355c5bd3c8308fa32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \det \Lambda =1}" loading="lazy"></li></ul>

bilden die Untergruppe der eigentlichen Lorentz-Transformationen. Für die orientierungstreuen Lorentz-Transformationen gilt

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\cdot \det \Lambda \geq 1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7153d02af2b975836998bbd0729e7a2076a2a9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.064ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\cdot \det \Lambda \geq 1.}" loading="lazy"></li></ul>

Die zeit- und orientierungstreuen Lorentz-Transformationen

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,\quad \det \Lambda =1,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82b4a891319cb9111e4c029f73ac643f6a6219a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.003ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda _{\ 0}^{0}\geq 1,\quad \det \Lambda =1,}" loading="lazy"></li></ul>

bilden die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe. Sie ist zusammenhängend: Jede eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation kann durch stetige Veränderung der sechs Parameter, drei für die Drehachse und den Drehwinkel und drei für die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme, in die identische Abbildung übergeführt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeit-_und_Raumspiegelung">Zeit- und Raumspiegelung</h3></div>

Die nicht mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235ffc0f1788b720aef5caa7b97246a84421fd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} }" loading="lazy"> zusammenhängenden Lorentz-Transformationen erhält man, indem man die Zeitspiegelung oder die Raumspiegelung

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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<mtd>

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<mtd>

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<mtr>

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</mtr>

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<mtd>

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<mtd>

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<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<mtd>

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<mtd>

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<mtd>

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</mtr>

<mtr>

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<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e665c67114a87efa0889412f411615bde87cb8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:53.297ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder beide mit den Lorentz-Transformationen multipliziert, die mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235ffc0f1788b720aef5caa7b97246a84421fd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} }" loading="lazy"> zusammenhängen. Die Lorentz-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eca05945bedd6bc1c6def9b309fc0130fa42ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}" loading="lazy"> hat vier Zusammenhangskomponenten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Überlagerungsgruppe">Überlagerungsgruppe</h2></div>

Die folgenden Überlegungen zeigen, dass die Gruppe der linearen Transformationen des zweidimensionalen, komplexen Vektorraumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22c8f6c9b633834d297e457a81a7210d9a507b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{2}}" loading="lazy">, deren Determinante den speziellen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> hat, die sogenannte <a href="Spezielle_lineare_Gruppe" title="Spezielle lineare Gruppe">spezielle lineare Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy">, die <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Zusammenhängender Raum">einfach zusammenhängende</a> <a href="%C3%9Cberlagerung_(Topologie)" title="Überlagerung (Topologie)">Überlagerung</a> der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist. Dabei überlagert die Untergruppe der speziellen unitären zweidimensionalen Transformationen, <a href="SU(2)" title="SU(2)">SU(2)</a> die Gruppe der Drehungen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8366fc6e92660ba077b87b745b305a4176b1d1ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}" loading="lazy">.

Jede <a href="Hermitesche_Matrix" title="Hermitesche Matrix">hermitesche</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8a0e3400ffb97d67c00267ed50cddfe824cbe80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\times 2}" loading="lazy"> – Matrix ist von der Form:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {w}}={\begin{pmatrix}t+z&x-\mathrm {i} y\\x+\mathrm {i} y&t-z\end{pmatrix}}={\hat {w}}^{\mathrm {T} \,*}={\hat {w}}^{\dagger }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef14a85d4f2a86fee3bbd9f6f141f271e8b6ba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.965ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {w}}={\begin{pmatrix}t+z&x-\mathrm {i} y\\x+\mathrm {i} y&t-z\end{pmatrix}}={\hat {w}}^{\mathrm {T} \,*}={\hat {w}}^{\dagger }.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da sie umkehrbar eindeutig durch die vier reellen Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=(t,x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=(t,x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/967037710ccf047954a6710b65db6c437de141ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.087ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=(t,x,y,z)}" loading="lazy"> bezeichnet wird und da Summen und reelle Vielfache hermitescher Matrizen wieder hermitesch sind und zu den Summen und Vielfachen der Vierervektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> gehören, ist sie Element eines vierdimensionalen Vektorraums.

Die Determinante

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det {\hat {w}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e4ab94c17820413c79afc9d7129d727b1693955.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.538ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \det {\hat {w}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist das Längenquadrat des Vierervektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">.

Multipliziert man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {w}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d26e38ca67a9ae90c8739b77c3d035ef682f3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {w}}}" loading="lazy"> von links mit einer beliebigen komplexen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\times 2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\times 2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd967d734835dc2bf4d3f1b10707f0052a78a650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2\times 2)}" loading="lazy">-Matrix und von rechts mit deren adjungierter, so ist das Ergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c848b3d10483ab307134418e4182b01d8b8d0ec3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.996ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\hat {u}}}" loading="lazy"> wieder hermitesch und lässt sich als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28b0daee3e5310b67eb2222b45bea6236d002c69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {u}}}" loading="lazy"> schreiben, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u=\Lambda w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=\Lambda w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8412f87dfadb6ea4215390b529bfa2d15a44a34f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.705ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle u=\Lambda w}" loading="lazy"> linear von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> abhängt. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> aus der speziellen linearen Gruppe der komplexen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\times 2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\times 2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd967d734835dc2bf4d3f1b10707f0052a78a650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2\times 2)}" loading="lazy">-Matrizen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy">, deren Determinanten den speziellen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> haben, so stimmt das Längenquadrat von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u=\Lambda w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=\Lambda w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8412f87dfadb6ea4215390b529bfa2d15a44a34f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.705ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle u=\Lambda w}" loading="lazy"> überein, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"> ist also eine Lorentz-Transformation. Zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy"> gehört so vermöge

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\widehat {\Lambda w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50fc1ec1834b50cc5a5751bc32cbc7eeb14aacf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.007ex; width:14.028ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle M{\hat {w}}M^{\dagger }={\widehat {\Lambda w}}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine Lorentz-Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eca05945bedd6bc1c6def9b309fc0130fa42ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}" loading="lazy">. Genauer gehört zu jedem Paar <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fd8c97327e5a40a1622bcc4902e1c2f858cf6ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.25ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm M}" loading="lazy"> von komplexen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2\times 2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\times 2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd967d734835dc2bf4d3f1b10707f0052a78a650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.975ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2\times 2)}" loading="lazy">-Matrizen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy"> genau eine Lorentz-Transformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda (M)=\Lambda (-M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda (M)=\Lambda (-M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cfb3121e8c0434f1d5c6f13812b327a49d8c431.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda (M)=\Lambda (-M)}" loading="lazy"> aus dem Teil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4eca05945bedd6bc1c6def9b309fc0130fa42ff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (1,3)}" loading="lazy">, welcher mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235ffc0f1788b720aef5caa7b97246a84421fd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} }" loading="lazy"> stetig zusammenhängt. Dieser Teil der Lorentz-Gruppe ist eine Darstellung der Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy">.

Die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/000a9ac5731338fd38b14f08bfaf6814f2aec65f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.429ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}" loading="lazy"> ist die Produktmannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61884e65832a0fb29447a9a7e1983748fa34cdef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.149ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{3}}" loading="lazy"> und einfach zusammenhängend. Die Gruppe der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen ist hingegen nicht einfach zusammenhängend:

Drehungen um eine feste Achse mit Winkeln, die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc00f65bbc630448311dd2dc82e7ce5e90985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =0}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea3e78e29a5fb9c40eaccd171b168c92a5f2d88a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.081ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =2\pi }" loading="lazy"> anwachsen, bilden in der Drehgruppe einen geschlossenen Kreis. Man kann diese Transformationen nicht stetig in andere Drehungen abändern, so dass dieser Kreis auf einen Punkt zusammenschrumpft.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Charles_Kittel" title="Charles Kittel">Charles Kittel</a>, Walter D. Knight, Malvin A. Ruderman: Mechanik (= Berkeley Physik Kurs. Bd. 1). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-528-08351-4, S. 232: Kap. 11.</li>

<li>Norbert Dragon: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/relativ.pdf">Geometrie der Relativitätstheorie.</a> (PDF-Datei; 2,37 MB)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathe-online.at/mathint/struct/applet_b_lorentz.html">Interaktives Java-Applet</a></li>

<li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/19922">Lorentz-Transformationen</a>. <a href="J%C3%B6rn_Loviscach" title="Jörn Loviscach">Jörn Loviscach</a> 2013, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5446/19922">10.5446/19922</a>.</li>

<li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/19921">Lorentz-Transformation im Detail</a>. <a href="J%C3%B6rn_Loviscach" title="Jörn Loviscach">Jörn Loviscach</a> 2013, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5446/19921">10.5446/19921</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Harald Klingbeil: <cite style="font-style:italic">Elektromagnetische Feldtheorie: Ein Lehr- und Übungsbuch</cite>. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-8348-1403-2, S. 497 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=Sms9MRllvggC&pg=PA497#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.au=Harald+Klingbeil&rft.btitle=Elektromagnetische+Feldtheorie%3A+Ein+Lehr-+und+%C3%9Cbungsbuch&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=3834814032&rft.pages=497&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1609.08647v1">1609.08647v1</a>

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Christian Møller: <cite style="font-style:italic">The theory of relativity</cite>. 1952, § 18. The most general Lorentz transformation, S. 41 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.org/stream/theoryofrelativi029229mbp#page/n58/mode/1up">Internet Archive</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.atitle=%C2%A7+18.+The+most+general+Lorentz+transformation&rft.au=Christian+M%C3%B8ller&rft.btitle=The+theory+of+relativity&rft.date=1952&rft.genre=bookitem&rft.pages=41" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Klaus W. Kark: Antennen und Strahlungsfelder. Elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung. 3., erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0553-9, Kap. 3.7.1, S. 46

</li>

<li id="cite_note-Feynman-5"><a href="#cite_ref-Feynman_5-0">↑</a> <a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">R. P. Feynman</a>: Lectures On Physics, Vol. II, 26-3, Relativistic transformation of the fields

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Max_von_Laue" title="Max von Laue">Max von Laue</a>: <cite style="font-style:italic">Das Relativitätsprinzip</cite>. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 1913, S. 38–41.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.au=Max+von+Laue&rft.btitle=Das+Relativit%C3%A4tsprinzip&rft.date=1913&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.pages=38-41&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Karl Stiegler: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">On the Deduction of the Lorentz-Einstein Transformation from Maxwell's Electromagnetic Field Equations</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Proceedings of the Physical Society</cite>. 71. Jahrgang, Nr. 3, 1958, S. 512–513, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/0370-1328%2F71%2F3%2F429">10.1088/0370-1328/71/3/429</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.atitle=On+the+Deduction+of+the+Lorentz-Einstein+Transformation+from+Maxwell%27s+Electromagnetic+Field+Equations&rft.au=Karl+Stiegler&rft.date=1958&rft.doi=10.1088%2F0370-1328%2F71%2F3%2F429&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Proceedings+of+the+Physical+Society&rft.pages=512-513&rft.volume=71.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Feynman, R.P.: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Feynman Lectures on Physics</cite>. Band 2. Basic Books, New York 2013, ISBN 978-0-465-02416-2, 21–6 The potentials for a charge moving with constant velocity; the Lorentz formula (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_21.html#Ch21-S6">caltech.edu</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.atitle=21-6+The+potentials+for+a+charge+moving+with+constant+velocity%3B+the+Lorentz+formula&rft.au=Feynman%2C+R.P.&rft.btitle=The+Feynman+Lectures+on+Physics&rft.date=2013&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9780465024162&rft.place=New+York&rft.pub=Basic+Books&rft.volume=2" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Pal, Palash B.: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Nothing but relativity</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">European Journal of Physics</cite>. Nr. 3, 2003, S. 24, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/0143-0807%2F24%2F3%2F312">10.1088/0143-0807/24/3/312</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/physics/0302045">physics/0302045</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.atitle=Nothing+but+relativity&rft.au=Pal%2C+Palash+B.&rft.date=2003&rft.doi=10.1088%2F0143-0807%2F24%2F3%2F312&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=European+Journal+of+Physics&rft.pages=24" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Baccetti, Valentina; Tate, Kyle; Visser, Matt: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Inertial frames without the relativity principle</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Journal of High Energy Physics</cite>. 2012, S. 119, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/JHEP05%282012%29119">10.1007/JHEP05(2012)119</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1112.1466">1112.1466</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2012JHEP...05..119B">2012JHEP...05..119B</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lorentz-Transformation&rft.atitle=Inertial+frames+without+the+relativity+principle&rft.au=Baccetti%2C+Valentina%3B+Tate%2C+Kyle%3B+Visser%2C+...&rft.btitle=Journal+of+High+Energy+Physics&rft.date=2012&rft.doi=10.1007%2FJHEP05%282012%29119&rft.genre=book&rft.pages=119" style="display:none"> ; Siehe Referenzen 5 bis 25.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Alan Macdonald, Derivation of the Lorentz transformation. In: American Journal of Physics. Vol. 49, Issue 5, 1981, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220002-9505%22&key=cql">0002-9505</a>, S. 493, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://arxiv.org/abs/physics/0606046v1">aktualisierte Version</a>.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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</body></html>